Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами этой окружности. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Содержание
Определение вписанного угла
Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами этой окружности. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Основная теорема о вписанных углах
Сумма вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу, равна между собой. Однако для определения суммы нескольких вписанных углов, опирающихся на разные дуги, существует специальный подход.
Сумма вписанных углов в окружности
| Количество углов | Сумма углов | Объяснение |
| Два угла, опирающихся на одну дугу | Равны между собой | По теореме о вписанных углах |
| Три угла, опирающихся на разные дуги | 180° (если дуги составляют полную окружность) | Сумма дуг равна 360°, каждый угол измеряется половиной своей дуги |
| Четырехугольник, вписанный в окружность | Сумма противоположных углов равна 180° | Следствие теоремы о вписанных углах |
Формулы для расчета
- Отдельный вписанный угол: α = ½∪AB, где ∪AB - градусная мера дуги
- Сумма двух вписанных углов, опирающихся на одну дугу: α₁ + α₂ = ∪AB
- Сумма углов вписанного n-угольника: 180°(n-2)
Примеры расчета
Пример 1: Три вписанных угла
Если три вписанных угла опираются на дуги 120°, 100° и 140° соответственно, то их сумма будет равна: (120° + 100° + 140°)/2 = 180°.
Пример 2: Вписанный четырехугольник
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов составляет 180°. Например, если ∠A = 70°, то противоположный ему ∠C = 110°.
Доказательство теоремы
- Рассмотрим окружность с центром O и вписанный угол ∠ACB, опирающийся на дугу AB
- Проведем радиусы OA и OB
- Центральный угол ∠AOB равен градусной мере дуги AB
- Вписанный угол ∠ACB равен половине центрального угла ∠AOB
- Следовательно, сумма вписанных углов, опирающихся на полную окружность, равна 180°
Практическое применение
- Решение геометрических задач на построение
- Доказательство теорем о свойствах окружностей
- Расчет параметров в технических конструкциях
- Применение в архитектуре и дизайне
Заключение
Сумма вписанных углов зависит от дуг, на которые они опираются. Для углов, опирающихся на дуги, составляющие в сумме полную окружность (360°), сумма будет равна 180°. Это свойство широко применяется в геометрии и имеет важное практическое значение при решении различных задач.
